Sáng kiến kinh nghiệm Dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

 MỞ ĐẦU
 ***
 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình đại số 
lớp 9 ở trường trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. 
Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề tài bằng lời văn và thường 
được xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, 
vật lý....).
 Hầu hết các bài toán có dữ kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc 
học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến 
việc lập phương trình hoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải 
toán là giải phương trình.
 Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì toán lớp 8 học 
sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phương trình. Nhưng việc 
giải phương trình đã có trong chương trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùy 
theo từng đối tượng học sinh.
 Ở lớp 1, 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:
 - 2 = 5
 Ở lớp 3 được nâng dần dưới dạng: X + 3 – 2 = 10
 Ở lớp 4, 5 cho dưới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
 X : 3 = 4 : 2
 X x 3 +5 = 11, (X – 15 ) x 7 = 21
 Ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ như bài toán còn cho dưới dạng lời văn 
có các dữ kiện kèm theo.
 Vì vậy, muốn giải được loại toán này học sinh cần phải suy nghĩ để thiết lập 
mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình (hệ phương trình).
 Mối đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán là đều được gắn 
liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu 
có liên quan đến thực tế đó. Do khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát 
li được thực tế, dẫn đến quên điều kiện của ẩn số. Học sinh không khai thác hết 
mối quan hệ giàng buộc của thực tế từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm 
dạng toán này. Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình 
độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của Sách Giáo 
 1 NỘI DUNG
 ***
 CHƯƠNG I
 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN
 I. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
 Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành 
về chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ phương trình.
 Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắc 
chung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
 Nội dung quy tắc gồm các bước:
 Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc).
 - Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn).
 - Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và các số liệu đã biết.
 - Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình (hệ phương trình).
 Bước 2: Giải phương trình và hệ phương trình.
 Tùy thuộc vào từng dạng phương trình và hệ phương trình mà chọn cách giải 
cho thích hợp.
 Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời.
 So sánh nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không rồi trả 
lời kết quả (có kèm đơn vị).
 Mặc dù đã có quy tắc trên song người giáo viên trong quá trình hướng dẫn giải 
bài toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu về giải bài toán nói 
chung.
 II. YÊU CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN.
 1. Yêu cầu 1: 
 Lời giải không phạm phải sai lầm, không có sai sót dù nhỏ. Muốn vậy giáo 
viên phải làm cho học sinh hiểu đề bài, trong quá trình giải không có sai sót về 
kiến thức cơ bản, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách kí hiệu ẩn phải 
chính xác, phải phù hợp với bài toán và trên thực tế.
 Ví dụ 1:
 3 Ta có phương trình:
 x (x + 4) = 1020.
 x2 + 4x - 1020 = 0.
 x1 = 30 (t/m)
 x2 = -34 (loại).
 Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m
 Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m.
 Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m). 
 Chú ý: Ở đây giáo viên cần lưu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34 
chỉ lấy nghiệm: x =30.
 3. Yêu cầu 3:
 Lời giải thích phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hướng dẫn học sinh không 
được bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhưng không được thiếu. Rèn cho 
học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của bài toán đã là 
đại diện phù hợp với mọi cách chung? Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào 
trường hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng?
 Ví dụ 3:
 Một cạnh tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạch đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 
3cm và cạch đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng 9/10 diện tích ban 
đầu. Tính chiều cao và cạch đáy của tam giác lúc đầu?
 - Phân tích:
 Dù chiều cao và cạch đáy của tam giác có thay đổi thì diện tích (S) của tam 
giác luôn được tính theo công thức: S = 1/2 . (cạch đáy . chiều cao).
 - Giải:
 Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5)
 3
 Chiều cao của tam giác là: x (cm).
 4
 Diện tích tam giác ban đầu là:
 1 3 3 2 2
 S = x. x x (cm ) .
 1 2 4 8
 3
 Khi tăng chiều cao lên 3cm thì chiều cao mới là: x + 3 (cm).
 4
 5 Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x. (x ê N; x > 0)
 3000
 Thời gian quy định may xong áo là (ngày).
 x
 Số áo thực tế may được trong 1 ngày là: x + 6 (áo).
 2650
 Thời gian may xong 2650 áo là: (ngày).
 x 6
 Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có phương trình:
 3000 2650
 5 
 x x 6
 x2- 64x – 3600 = 0
 x1= 100 (thỏa mãn điều kiện)
 x2= -36 (loại).
 Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo.
 3000
 Thời gian quy định may xong 3000 áo là: = 30 (ngày).
 100
5. Yêu cầu 5: Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải 
trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy luận từ các 
bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước.
 Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2 
đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
 - Phân tích: Xét tam giác vuông ABC. Giả sử AC > AB CH > BH.
 2
 Cần chú ý rằng: AH = BH . CH C
 H
 - Giải: Gọi dộ dài BH là x (m) (x>0). A B
 Độ dài CH là x+ 5,6 (m).
Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác, ta có phương trình:
 x.(x + 5,6) = 9,62
 x2 + 5,6 x - 92,16 = 0
 x1 = 7,2 (thỏa mãn điều kiện).
 x2 = - 12,8(loại).
 7 CHƯƠNG II : PHÂN LOẠI BÀI TOÁN
 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
 VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN
 I – PHÂN LOẠI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
 VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
 Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phương trình và hệ phương 
trình có thể phân loại như sau:
 1. Loại toán về chuyển động.
 2. Loại toán liên quan đến số học.
 3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
 4. Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
 5. Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số của 
chúng).
 6. Loại toán có liên quan đến hình học.
 7. Loại toán có nội dung vật lí, hóa học.
 II. CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
 LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng phương trình, 
biến đổi tương đương về dạng 
 ax + b = 0 (a 0).
- Với bài toán: Giải bài toán bằng phương trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây 
dựng phương trình, biến đổi tương đương về dạng:
 2
 ax + bx + c = 0 (a,b 0)
- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau 
khi biến đổi tương đương về dạng nguyên (như mẫu số) có dạng:
 ax + by = c
 a,x + b,y = c, ( Trong đó a, b, a,, b, không đồng thời bằng 0 )
 Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằng 
cách lập phương trình (hệ phương trình) như phần I đã trình bày thì giải bài toán 
 9 - Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngược chiều khi hai người gặp nhau 
 thì tổng quãng đường mà hai người đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa hai 
người.
 Có thể minh họa bằng bẳng sau:
 Vận tốc Thời gian Quãng đường
 1 1
 Nam x x
 4 4
 3 1 1 3
 Lan x  x
 4 4 4 4
 - Giải: Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) (x>0).
 3
 Vận tốc của Lan là .x (km/h).
 4
 1
 Sau 25 phút = h thì:
 4
 1
 Quãng đường nam đi được là: .x (km/h).
 4
 1 3
 Quãng đường Lan đi được là: . x (km).
 4 4
 Đến khi gặp nhau, tổng quãng đường 2 người đã đi bằng khoảng cách giữa 
 nhà Lan và nhà Nam. Ta có phương trình:
 1 1 3
 x  x 7
 4 4 4
 4x 3x 112
 7x 112
 x 16(T / m)
 Vậy vận tốc của Nam là 16 km/ h.
 3
 Vận tốc của Lan là: 16 12(km / h)
 4
 Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong 
một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ, ô tô bị chắn bởi xe hỏa mất 10 phút. 
Do đó để đến B kịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ô tô lúc 
đầu.
Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn :
 11 Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )
 Vận tốc ca nô khi ngược dòng là : x – y ( km/h )
 108
Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km mất : (h)
 x y
 63
 Ca nô ngược dòng 63 km mất : (h)
 x y
 108 63
 Ta có phương trình : 7 (1)
 x y x y
 81
Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km mất : (h)
 x y
 84
 Ca nô ngược dòng 84 km mất : (h)
 x y
 81 84
 Ta có phương trình : 7 (2)
 x y x y
 108 63
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 7
 x y x y
 81 84
 7
 x y x y
 1 1
 Đặt a ; b . Ta có:
 x y x y
 (I) 108a + 63b = 7 (II)
 81a + 84b = 7
 Giải hệ phương trình (II) ta được:
 1 1 1
 a 
 27 x y 27
 1 1 1
 b 
 21 x y 21
 x y 27 x 24 (t/m)
 x y 21 y 3
 Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 km/h
 Vận tốc dòng nước là 3 km/h.
 13