Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài tập về tỷ lệ thức

 A. PHẦN MỞ ĐẦU
 I. Đặt vấn đề
 1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết.
 Giải pháp mới của tôi là: 
 "Hướng dẫn hoc sinh giải một số dạng bài tập về tỷ lệ thức"
 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết:
 Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 7, đặc biệt hai năm học liên tiếp 
( 2016-2017 và 2017-2018 ) và tham khảo đồng nghiệp, bản thân tôi và 
nhiều GV cũng thấy khó dạy phần toán về tỉ lệ thức để HS thấy dễ hiểu. 
Còn HS thấy khó và rất không thích học toán về tỉ lệ thức. Kết quả học tập 
của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học 
sinh. Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo, chặt chẽ, trình bày sáng sủa khoa 
học, song cũng có nhiều lời giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự 
sáng tạo.Tôi rất băn khoăn, suy nghĩ làm thế nào để dạy HS thấy toán về tỉ 
lệ thức dễ hiểu, dễ học. Tôi đã mạnh dạn phân dạng và sắp xếp bài tập tỷ lệ 
thức sao cho các em có thể giải được bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng 
nhất.
 2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới
Giúp cho học sinh có được phương pháp giải toán đạt hiệu quả cao, rèn 
được kỹ năng, vận dụng kiến thức suy luận logic chặt chẽ khi giải toán. 
Để các em thấy yêu thích loại toán về tỉ lệ thức, từ đó có đam mê học toán.
Thông qua đó hình thành phẩm chất, nhân cách và năng lực mới của HS.
 3. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu
 - Trong chương trình toán đại số lớp7
 - Học sinh lớp 7C trường THCS NHƯ QUỲNH
II. Phương pháp tiến hành
 1. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
 • Cơ sở lý luận: 2. Thời gian tạo ra giải pháp, các biện pháp tiến hành.
 - Thời gian tạo ra giải pháp: Năm học 2017-2018
 - Các biện pháp tiến hành: khảo sát thực tiễn, đánh giá, dùng bảng 
 đối chiếu, trao đổi kinh nghiệm, trao đổi tài liệu, thu thập và xử lý 
 thông tin.
 Biện pháp khảo sát thực tiễn bắt đầu vào phần luyện tËp nhằm 
phát hiện, đánh giá chất vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để 
đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh. 
 Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát. 
Câu 1. Tìm x, y, z biết: 
 x y z
 và x + y + z = 150
 2 3 5
Câu 2. Tìm x, y biết: 
 x y
 và x.y = 300
 3 4
Câu 3. Tìm x, y, z biết
 x y y z
 ; và 2x - 3y + z = 6
 3 4 3 5
Đáp án: 
Câu 1. Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: 
 x y z x y z 150
 15
 2 3 5 2 3 5 10
 x
 15 x 2.15 30
 2
 y
 15 y 3.15 45
 3
 z
 15 z 5.15 75
 5
Câu 2. 
 x y
 Đặt k . Ta có x = 3k; y = 4k
 3 4
 3 + Đối tượng II (2 em chiếm 6%) các em đã làm được bài 1 và bài 2. 
Song vẫn còn một số em mắc sai lầm: 
 x y xy
 ...!
 3 4 12
 + Đối tượng III (2 em chiếm 6%) các em đã biết hướng làm câu 3 là 
phải tìm tỷ số trung gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau, nhưng tới đó lại 
không biết làm tiếp như thế nào. 
 B.PHẦN NỘI DUNG
 I. Mục tiêu
 Tôi nghiên cứu sáng kiến này nhằm ba mục đích chính:
 - Phân dạng các bài tập về tỉ lệ thức và sắp xếp các bài tập từ dễ đến 
 khó để GV dễ dạy, HS học dễ hiểu.
 - Hướng dẫn HS suy nghĩ, phân tích để tìm ra một định hướng, một 
 quy luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời giải.
 - Chỉ ra một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số 
 bằng nhau
 I. Các giải pháp thực hiện 
 1. Mô tả giải pháp:
 - Tính mới, sáng tạo: 
 Đáp ứng nhu cầu đổi mới trong dạy và học nhằm phát triển các phẩm 
chất ham học, chăm làm, trách nhiệm. Đồng thời phát triển các năng lực 
tính toán, ngôn ngữ, tự học, giải quyết vấn đề sáng tạo, thẩm mỹ trong lựa 
chọn và trình bày.
 Không chỉ phân dạng mà còn hướng dẫn HS để các em tự tìm ra định 
hướng làm cơ sở để lựa chọn lời giải hay và sáng tạo.
 Các bài tập trong mỗi dạng được sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó 
nhằm dẫn dắt học sinh tư duy logic tự tìm hướng giải toán.
 Phân dạng bài tập riêng cho các sai lầm hay mắc phải.
 - Khả năng và phạm vi ứng dụng:
 5 Từ 3x = 2y 3x . 7 = 2y . 7 hay 21x = 14y
 7y = 5z 7y.2 = 5z.2 hay 14y = 10z
 21x = 14y = 10z
 x y z x y z 32
 2
 10 15 21 10 15 21 16
 x = 2.10 = 20
 y = 2.15 = 30
 z = 2.21 = 42
 Vậy x = 20; y = 30; z = 42
 Câu 2.
 Từ 2bd = c(b+d)
 2bd = bc + dc
 (a+c)d = bc + cd
 ad + cd = bc + cd 
 ad = bc
 a c
 (vì b 0; d 0)
 b d
Câu 3. Gọi 3 số phải tìm là x, y, z (x, y, z Z; x, y, z 0)
Theo bài ra ta có: x3 + y3 + z3 = 1009
 x y x y
 và x : y = 2 : 3 
 2 3 4 6
 x 4 x z
 z 9 4 9
 x y z
 4 6 9
 x y z
 Đặt = k x = 4k
 4 6 9
 y = 6k
 z = 9k
 x3 + y3 + z3 = (4k)3 + (6k)3 + (9k)3 = 1009
 = 1009k3 = 1009
 7 x y
 c) và xy = 54
 2 3
 x y
 d) và x2 - y2 = 4
 5 3
Giải
 a) Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên 
 theo tính chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học 
 sinh thường mắc sai lầm như sau: 
 x y x.y 90
 9
 2 5 2.5 10
 x 2.9 18
 y 5.9 45
 Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và 
hướng cho các em hướng giải toán. 
Hướng thứ nhất
 Dùng phương pháp tính giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ 
thống hoá, khái quát hoá về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích 
hợp. 
 x y x 2k
 Đặt k 
 2 5 y 5k
 Mà xy = 90 2k.5k = 90
 10k2 = 90
 2 k 3
 k = 9 
 k 3
* Với k = 3 x = 2.3 = 6
 y = 5.3=15
* Với k = -3 x = 2.(-3) = -6
 y = 5.(-3) = -15
Vậy (x;y) = (6; 15); (-6; -15)
Hướng thứ hai: 
 9 x y z x y z 37
 1
 10 15 12 10 15 12 37
 x = 10.1 = 10
 y = 15.1 = 15
 z = 12.1 = 12
 Vậy x = 10; y = 15; z = 12. 
 b) Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung 
gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu 
xem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y - z, để giúp các em nhớ lại tính chất 
của phân số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán 
cho thích hợp. 
 x y x 1 y 1 x y
Ta có: . . hay 
 3 4 3 5 4 5 15 20
 y z y 1 z 1 y z
 . . hay 
 5 7 5 4 7 4 20 28
 x y z 2x 3y z 186
 3
 15 20 28 2.15 3.20 28 62
 x = 15.3 = 45
 y = 20.3 =60
 z = 28.3 = 84
 Vậy x = 45; y = 60; z = 84. 
 Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù 
hợp cho phần c và d. 
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết
 a) 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158
 b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60
 c) 2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải: 
 Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song 
tôi đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai 
 11 1
 y = .240 48
 5
 1
 z = .240 30
 8
 Vậy x = 80; y = 48; z = 30
 Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ 
đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp 
các em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c. 
 * Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các 
em phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau: 
 + Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y
 + Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z
 10x = 15y = 21z
 x y z 3x 5z 7y 60
 840
 1 1 1 1 1 1 15
 3. 5. 7.
 10 15 21 10 21 15 210
 1
 x = .840 84
 10
 1
 y = .840 56
 15
 1
 z = .840 40
 21
 Vậy x = 84; y = 56; z = 40. 
 Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạng 
toán này. 
Bài toán 4. Tìm x, y, z biết rằng
 x 1 y 2 z 2
 a) vµ x 2y z 12
 5 3 2
 x 1 y 2 z 3
 b) vµ 2x 3y z 50
 2 3 4
 x 1 y 4 z 2
 c) vµ 2x 3y 5z 10
 3 2 2
 13 Bài toán 5: Tìm x, y, z biết rằng
 x y z
 a) x y z
 y z 1 x z 1 x y 2
 y z 1 x z 2 x y 3 1
 b) 
 x y z x y z
 Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, 
đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để 
xuất hiện x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện 
dãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán phần (b) như sau: 
Giải: Điều kiện x, y, z 0
Ta có: 
 y z 1 x z 2 x y 3 y z 1 x z 2 x y 3 2(x y z)
 2
 x y z x y z x y z
 1 1
 2 x + y + z = 0,5
 x y z 2
 x + y = 0,5 - z
 y + z = 0,5 - x
 x + z = 0,5 - y
 Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có: 
 y x 1 0,5 x 1
 2 2 0,5 - x + 1 = 2x
 x x
 1,5 = 3x
 x = 0,5
 x z 2 0,5 y 2
 2 2,5 - y = 2y
 y y
 2,5 = 3y
 5
 y = 
 6
 x y 3 0,5 z 3
 2 -2,5 - z = 2z
 z z
 -2,5 = 3z
 15 a c
Bài 1: ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy 
 b d
 a b c d
ra tỷ lệ thức:. 
 a c
Giải:
Cách 1: Xét tích a b c ac bc(1) 
 a c d ac ad(2)
 a c
 Từ ad bc(3)
 b d
 a b c d
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c = a(c- d) suy ra 
 a c
 a c
- Cách 2: Đặt k a bk,c dk
 b d
Ta có: 
 a b bk b b k 1 k 1
 (1),(b 0)
 a bk bk k
 c d dk d d k 1 k 1
 (2),(d 0)
 c dk dk k
 a b c d
Từ (1) và (2) suy ra: 
 a c
 a c b d
- Cách 3: từ 
 b d a c
 a b a b b d c d
 1 1 
Ta có: a a a a c c
 a b c d
Do đó: 
 a c
- Cách 4: 
Từ
 a c a b a b
 b d c d c d
 a a b a b c d
 c c d a c
- Cách 5: từ 
 17