Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán Hình học 7

 Phòng giáo dục - đào tạo huyện quỳnh phụ
 Trường thcs quỳnh hội
 ************************
 đề tài
hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ 
 khi giải một số bài toán hình học 7
 Họ và tờn: Trần Thị Thủy
 Ngày sinh: 20/10/1978
 Trỡnh độ đào tạo: Đại học
 Thỏng năm vào ngành: 03/ 2000
 Tháng 4 năm 2014. triển dưới nhiều góc độ khác nhau làm cho học sinh phải tự suy nghĩ, phải tự tìm tòi và 
thấy rằng việc học toán thật thú vị, hấp dẫn. Qua mỗi tiết học nâng cao, giáo viên đưa 
ra kiến thức nào thì nó sẽ là chiếc chìa khoá mở ra cho học sinh nhiều điều mới lạ, thú 
vị và từ đó xây dựng được khả năng tự học, tự nghiên cứu. Trước thực tế đó, tôi muốn 
qua bài viết này sẽ trao đổi kinh nghiệm với tất cả các đồng chí đồng nghiệp.
 II. Mục đích nghiên cứu:
 Giúp học sinh nắm được cách vẽ đường phụ khi giải một số bài toán so sánh độ 
dài các đoạn thẳng: So sánh hai đoạn thẳng, một đoạn thẳng với tổng hai đoạn thẳng.
 III. Giới hạn của đề tài.
 Trong chứng minh hình học, phần nhiều phải tự vẽ thêm đường mới, tức là phải 
vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Việc vẽ thêm đường phụ rất nhiều loại nên 
không có phương pháp vẽ cố định. Vẽ đường phụ hợp lý là một phương pháp để giải 
các bài toán hình học. Để tìm ra hướng đi đúng cho một bài toán khó và lạ là một điều 
không đơn giản. Nhằm giúp các em giải quyết vấn đề khó này, tôi xin đề cập đến cách 
hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7. Song 
trong phạm vi của đề tài này, tôi sẽ xoay quanh dạng toán về so sánh độ lớn hai đoạn 
thẳng. Đây là dạng toán quen thuộc mà các em thường gặp.
 B - phần nội dung
Trước hết, học sinh phải thấy được việc kẻ đường phụ nhằm 
 - Biến đổi hình vẽ, làm cho bài toán trở nên chứng minh dễ dàng hơn trước
 - Tạo nên một hình mới để có thể áp dụng những định lý đặc biệt nào đó.
 Trong thực tế, việc kẻ thêm đường phụ là một việc làm thực sự khó. Việc kẻ 
thêm đường phụ phải theo đúng nguyên tắc dựng hình vì nếu không bài toán càng trở 
nên phức tạp, không tìm ra hướng giải. Chính vì vậy, khi đứng trước một bài toán, các 
em cần chú ý các điểm sau:
 - Không phải bài toán nào cũng cần vẽ đường phụ.
 - Khi vẽ không được tuỳ tiện mà phải hợp lý đúng nguyên tắc các phép dựng 
hình cơ bản. mà  BAD = 600 ( ABD đều)  DAC = 300
 - ADC có  DAC =  C (=300) ADC cân tại D DA = DC
 Lại có AD = AB = BD ( ADB đều) DB = DC (2). 
 1
 Từ (1) và (2) suy ra AB = BC
 2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với 
cạnh huyền bằng một nửa cạnh ấy.
*Hướng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AM, sau đó chứng minh 2AM = BC. Với hướng 
suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau:
 Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho M là trung B
 1 D
 điểm của AD AM = AD 
 2
 ABM và DCM có: 
 BM = MC (AM là trung tuyến) M
  AMB =  DMC (đối đỉnh)
 AM = MD (cách dựng) A C
 ABM = DCM (cgc)  ABM =  MCD 
 AB // DC, mà AB  AC ( ABC vuông tại A) DC  AC.
 ABC và DCA có:
 AB = DC ( ABM = DCM)
  BAC =  DCA = 900
 AC chung
 1 1
 ABC = CDA (c.g.c) BC = AD, mà AM = AD AM = BC (đpcm).
 2 2
*Hướng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng AM, sau đó chứng minh đoạn thẳng đó bằng 
 1
 BC . Với hướng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau:
 2
Gọi M là giao điểm của đường trung trực đoạn AB với cạnh BC
Vì M trung trực của BC MB = MA
 AMB cân tại M  B =  BAM
Lại có  B <  BAC  BAM <  BAC AM nằm giữa AB và AC A
Xét BMN và AMC có N
 MB = MA (M là trung điểm AB ) M
  BMN =  AMC (hai góc đối đỉnh )
 MN = MC (cách dựng) C
 B
 Vậy BMN = AMC (c .g.c)
 BN = AC 
Lạicó  BNM=  MCA ( BMN = AMC) D
 BN // AC
  NBC +  BCA = 1800 (hai góc trong cùng phía)
Mà  DBC +  CBA = 1800 ( kề bù);  ABC =  ACB( ABC cân tại A )
  NBC =  DBC
Xét NBC và DBC có 
 NB = BD (=AC );  NBC =  DBC ; BC là cạnh chung
 NBC = DBC (c.g.c) NC =DC (2)
 1
Từ (1) và (2) MC = DC
 2
Cách 2 
 Sử dụng kết quả bài toán trong ví dụ 3, ta sẽ có một số cách vẽ đường phụ như sau:
 Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CB A
 = CN 
 Ta có :  DBC +  CBA = 1800(2 góc kề bù)
 M
  ACN +  ACB = 1800(2 góc kề bù)
 Mà  CBA =  ACB do ABC cân tại A) B
 C N
  DBC =  ACN 
 Ta có : CB = CN (cách dựng), MA = MB (gt)
 1
 CM = AN (1)
 2 D
 Xét DBC và ACN có: 
 DB = CA (cùng bằng AB);  DBC =  ACN (cmt); BC = CN (cách dựng) 1
 Từ (1) và (2) CM = DC
 2
 *Khai thác bài toán : Kết quả chứng minh vẫn đúng nếu ABC vuông cân tại A hoặc 
 ABC là tam giác đều(học sinh tự chứng minh).
Ví dụ 5: Cho ABC có AB > AC; phân giác AD. Chứng minh rằng DB > DC.
* Hướng giải: Tạo ra một đoạn thẳng bằng DB(hoặc DC) và so sánh đoạn thẳng mới 
với đoạn thẳng còn lại.
Với hướng giải như trên ta có thể vẽ đường phụ theo hai cách sau:
Cách 1: 
 - Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC A
 - Xét ADC và ADE có : AE = AC(cách vẽ)
  A1 =  A2(gt)
 AD là cạnh chung E
 ADC = ADE(c.g.c)
 ED = DC(1) và  D =  D (2)
 1 2 B D C
 - Do AB > AC(gt); AE = AC nên AB > AE E nằm giữa A và B 
 - Ta có  BED là góc ngoài của tam giác AED  BED >  D2 (3)
  D2 là góc ngoài của tam giác ABD  D2 >  B (4)
 Từ (2); (3) và (4)  BED >  B
 - BED có  BED >  B BD > DE (quan hệ góc và cạnh đối diện) (5)
 Từ (1) và (5) BD > DC(đpcm) 
 Cách 2: 
 Trên tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE A
 Xét ADB và ADE có: AB = AE(cách vẽ)
  BAD =  EAD(gt)
 AD là cạnh chung 
 ADB = ADE (c - g - c)
 BD = DF (6) và  ABD =  AED (7)
 B C
 Do AB = AF; AB > AC nên AF > AC D
 C nằm giữa A và F E
  BCE là góc ngoài của tam giác ABC 
  BCE >  ABD (8) Do ND//BC nên  AND =  ABC; A
  ADN =  C (đồng vị)
 Mà  ABC =  ACB = 400 (gt) N D
  AND =  ADN
 AND cân tại A AN = AD
 C
 B I
 Mà AB = AC (gt) AB – AN = AC – 
 AD
 BN = CD(1)
 -Vì BD là phân giác của ABC  ABD =  DBC = 200 
 Mặt khác do ND//BC(cách vẽ) nên  NDB =  DBC (so le trong)
  NBD =  NDB = 200 BND cân tại N BN = ND(2)
 - Do BD = BI nên BDI cân tại B  BDI = (1800 - 200) : 2 = 800.
  IDC = 1800 – (  ADN –  NDB -  BDI) = 400
 Từ (1) và (2) ND = CD
 - Xét AND và IDC có :  AND =  ICD(= 400) 
 ND = DC(cmt)
  ADN =  IDC(= 400)
 AND = IDC(g - c - g)
 AD = IC(2 cạnh tương ứng)
 Vì BC = BI + IC; BI = BD; IC = DA nên BD + DA = BC(đpcm)
 AB + AC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng AM < 
 2
 AB + AC
* Hướng giải: Ta có AM < 2AM < AB + AC
 2
 Để chứng minh 2AM < AB + AC ta tìm cách tạo ra một tam giác có ba cạnh 
bằng 2AM, AB, AC.
 Với hướng giải như trên ta có thể vẽ đường phụ theo cách sau: Trên tia AM lấy 
điểm D sao cho AM = MD. Tam giác ADC là tam giác cần dựng.
Giải
- Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD
- Xét AMB và DMC có :
 AM = MD(cách vẽ) Từ bài toán trên ta có bài toán tương tự sau: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và 
  ABC = 2.  ACB. Kẻ AD  BC (D BC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao 
cho BN = BD. Đường thẳng ND cắt AC tại M. Chứng minh rằng: 
 a)  BND =  ACB
 b) M là trung điểm AC
 c) AN = CD
 Giải: A
 1
 a)  BND =  ACB (=  ABC)
 2
 M
 b)  MDC =  MCD (=  BDN)
 MDC cân tại M MD = MC
 B
 D C
  MAD =  ADM (cùng phụ với 2 góc E
 bằng nhau)
 N
 AMD cân tại M AM = MD
 Suy ra M là trung điểm AC
 c) Lấy E sao cho DE = BD
 Do BD = BN BN = DE.
 Chứng minh tương tự như trên ta có EC= AB
 Do đó AB + BN = EC + DE hay AN = CD
Từ kết quả của câu b) ta có thể chứng minh câu c) theo hướng khác, đó là tạo ra đoạn 
thẳng bằng DC và ta chứng minh đoạn thẳng đó bằng AN
 Trên tia đối của tia MD lấy P sao cho MP = 
 A P
 MD
 AMP = CMD (c.g.c) AP = DC(1) M
 Ta có  P =  MDC ( AMP = CMD)
  MDC =  N (=  BDN) B
 D C
  N =  P ANP cân tại A 
 AN = AP(2) N
 Từ (1) và (2) suy ra AN = DC C. Kết quả sau khi thực hiện
 Qua việc đưa ra “Loại toán so sánh đoạn thẳng và cách vẽ đường phụ tương 
ứng” thường gặp trong hình học 7, tôi thấy đã đạt được một số kết quả như sau:
 - Cung cấp cho học sinh một hệ thống các phương pháp giải, tạo điều kiện cho học 
sinh hiểu sâu kiến thức hình học, định hướng cho học sinh cách vẽ đường phụ khi gặp 
các bài toán tương tự. Đồng thời làm cơ sở cho học sinh có được cách vẽ đường phụ với 
các bài toán khó hơn nữa. Giúp cho học sinh rèn được những phẩm chất của trí tuệ như 
: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo trong tư duy, làm tiền đề cho sự phát 
triển tư duy của học sinh học tập môn Toán, tạo điều kiện cho học sinh xây dựng cho 
bản thân phương pháp làm Toán, phương pháp học tập một cách có hiệu quả.
 - Nêu ra được giải pháp vẽ đường phụ để giải loại toán giúp cho học sinh chống 
được tư tưởng ngại khó, "sợ" giải một bài toán khó, tạo điều kiện cho học sinh hứng thú 
học tập, hăng say nghiên cứu tìm tòi cái mới, cái khó trong quá trình học tập.
 - Góp một phần vào thời kỳ đổi mới phương pháp giảng dạy (đổi mới cách dạy 
của giáo viên và cách học của học sinh) nhằm nâng cao chất lượng dạy và học theo 
hướng phát huy tích cực của học sinh "lấy học sinh làm trung tâm".
 Trên đây là một số phương pháp vẽ đường phụ giúp cho học sinh biết cách giải 
một số bài toán so sánh đoạn thẳng. Bước đầu đã thực nghiệm và có kết quả nhất định, 
nhất là việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình được 
một cách giải toán ở thể loại này, phát huy tích cực chủ động sáng tạo trong giải toán 
nói chung, giúp cho học sinh rèn luyện được nhiều kỹ năng giải toán, tạo đà cho học 
sinh đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay. Đề tài “ Vẽ đường phụ ” này chắc 
chắn không tránh khỏi những hạn chế. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp 
của Hội đồng khoa học ngành Giáo dục Quỳnh Phụ để tôi tiếp tục hoàn thiện đề tài 
trong những năm học tới.