Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài toán về đa thức

 SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
I . Một số kiến thức cơ bản 
 Xét đa thức ẩn x với các hệ số : a0 , a1, a2,., an .
 n n-1
 f(x) = a0x + a1x ++ an-1x + a n (a0# 0)
 n n-1
 f(c) = a0c + a1c ++ an -1c + an là giá trị của đa thức tại c 
 Nếu f(c) = 0 thì c là một nghiệm của đa thức f(x) .
 Định lý Bơdu: 
 Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a bằng giá trị của đa thức 
 tại x= a tức là: f(x)=(x-a).g(x)+f(a)
 Chứng minh: 
 Gọi g(x) là đa thức thương và r là số dư thì : f(x)=(x-a).g(x)+r (*) 
 khi x = a thì (*) f(a)=(a-a).g(a)+r hay r = f(a) (đpcm)
 + Hệ quả 1: Nếu x=a là nghiệm của đa thức thì f(x)(x-a) 
 Thật vậy nếu a là một nghiệm của f(x) thì f(a) = 0 hay r=0 
 f(x) = g(x) .(x-a) hay f(x)(x-a) .
 + Hệ quả 2: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức ax+b bằng giá 
 trị của đa thức tại x= b . Tức là f(x) = (ax+b)h(x) + f( b )
 a a
 . Phương pháp hệ số bất định :
 n n-1
 Giả sử: f(x) = a0x + a1x ++ an-1x + a n (a0# 0) và
 n n-1
 g(x) = b0x + b1x ++ bn-1x + b n 
 Nếu f(x) = g(x) với ít nhất n+1 giá trị phân biệt của x thì: an = bn ; an-1 = bn-1 ,, 
 a1 = b1 ; a0 = b0
 Chú ý : Bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia 
 . Công thức truy hồi horner .
 n n-1
 Khi chia đa thức bậc n f(x)=a 0x + a1x ++ an-1x + a n (a0# 0) cho x-c ta sẽ 
được một thương là một đa thức bậc (n-1) 
 n-1 n-2
 q(x) = b0x + b1x ++ bn-2x + b n-1 (b0# 0) và số dư là r . 
 Ta có :
 Lại Quang Tuệ-GV Trường1 THCS Cẩm Nhượng SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
f(x)=(x-2).A(x)+5 (1); f(x)=(x-3).B(x)+7 (2). Gọi thương của phép chia đa thức 
f(x) cho (x-2)(x-3) là đa thức C(x),phần dư là đa thức R(x).Vì (x-2)(x-3) là đa thức 
bậc hai nên đa thức đa thức dư là đa thức bậc nhất do đó:
R(x)=ax+b,ta có:
f(x)=(x-2)(x-3).(1-x2)+ax+b đúng với mọi giá trị x (3)
Vì (1);(2);(3) đúng với mọi giá trị của x nên f(2)=5 hay 2a+b=5;f(3)=7 hay 
3a+b=7 ta có hệ phương trình
 2 a b 5
 3 b b 7
Từ đây ta tìm được a=2;b=1.Do đó đa thức phải tìm là:
f(x)=(x-2)(x-3)(1-x2)+2x+1=-x4+5x3-5x2-5x+6
 Ví dụ 2: Tìm đa thức bậc 3 biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1
 Giải:
 Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax3 + bx3 + cx +d . Theo bài ra ta có:
 f(0) = 10 d = 10
 f(1) = 12 a + b + c = 2 (1)
 f(2) = 4 4a + 2b + c = -3 (2)
 f(3) = 1 9a + 3b + c = -3 (3)
 Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
 a b c 2
 4 a 2 b c 3
 9 a 3 b c 3
 5 25
 Giải ra ta được: a = ; b = ; c = 12
 2 2
 5 3 25 2
 Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = x - x 12x 10
 2 2
 Lại Quang Tuệ-GV Trường3 THCS Cẩm Nhượng SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
 Mặt khác g(0) = g(1) = g(2) = 0 nên theo hệ quả 1 nên g(x) chia hết cho (x-
0), (x – 1) và (x – 2) . 
 Gọi k là hệ số của hạng tử x3 của đa thức f(x) khi đó : 
 g(x) = k.x(x – 1)(x – 2)
 f (x) kx(x 1)( x 2) 5x 2 7 x 10
 Mặt khác f(3) = 1 k.3.2.1 5.9 7.3 10 1
 5
 6k = 15 k=
 2
 5 2
 Vậy đa thức cần tìm là: f (x) x(x 1)(x 2) 5x 7x 10
 2
 5 3 25 2
hay f(x) = x - x 12 x 10
 2 2
 Vậy ta có thể giải bài toán trên một cách ngắn gọn sau :
 Đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10 . 
Theo bài ra ta có : g(0) = g(1) = g(2) = 0 nên theo hệ quả 1 nên g(x) chia hết 
cho (x-0), (x – 1) và(x – 2) . 
 Do bậc f(x) bằng 3 nên bậc g(x) cũng bằng 3 .
 Gọi k là hệ số của hạng tử x3 của đa thức f(x)
 khi đó g(x) = k.x(x – 1)(x – 2)
 f (x) kx (x 1)( x 2) 5x 2 7 x 10
 Mặt khác f(3) = 1 
 k.3.2.1 5.9 7.3 10 1
 5
 6k = 15 k=
 2
 5
 f (x) x(x 1)(x 2) 5x2 7x 10 
 2
 5 3 25 2
Vậy đa thức cần tìm là:f(x) = x - x 12 x 10
 2 2
 Lại Quang Tuệ-GV Trường5 THCS Cẩm Nhượng SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
 1. Tỡm đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d biết P(1945) =1945; P(1954) = 1954; 
P(1975) = 1975 
 2. Tỡm đa thức f(x), có bậc 2 biết f(0) = 7, f(1) = 15; f(2) = 2008
 3. Tỡm đa thức f (x), có bậc 3 bi ết f(0) =12; f(1)=54; f(2) =119; f(3) =2009
 4. Tìm đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.Biết P(1) = -15; P(2) = -12; P(3) = -9. 
 5.( Thi HSG Hải Phòng năm 2004) 
Tìm đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = 25; P(2) = 21; P(3) = 41
 1.2 . Dạng 2: Xác định đa thức khi biết điều kiện của hệ số
 Phương pháp: Dựa vào điều kiện đề bài cho về các hệ số để xác định đa 
thức.
Ví dụ 4:
 Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyên không âm nhỏ hơn 8 và 
thoả mãn: f(8) = 2009
Chú ý: Giả sử A gồm n +1 (n N * ) chữ số an, an-1, ,a0 
Ta biết rằng một số A trong hệ ghi cơ số x được đổi sang trong hệ thập phân 
theo công thức: 
 n n-1 
 A =( anan 1...a0 )X= anx + an –1x + ...+ a1x + a0 .
Ví dụ: Ta xét số 1234 . trong hệ thập phân được viết dưới dạng tường minh là:
 3 2
 123410 = 1.10 +2.10 +3.10+4 = 1234
 3 2
 trong hệ bát phân 12348=1.8 +2.8 +3.8+4=668
 Và cách đổi 668 sang hệ bát phân được thực hiện như sau :
 Lấy 668 chia cho 8 được thương là 83 và dư là 4 . (ghi chữ số 4 ở hàng đơn vị )
 Tiếp tục lấy 83 chia cho 8 ta được thương là 10 và dư 3 (ghi chữ số 3 ở hàng 
chục)
 Tiếp tục lấy 10 chia cho 8 ta được thương là 1 và dư 2 (ghi chữ số 2 ở hàng 
trăm) ta được thương cuối cùng là 1 không chia hết cho 8 (ghi chữ số 1 ở hàng 
ngàn)
 Lại Quang Tuệ-GV Trường7 THCS Cẩm Nhượng SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
1.3. Dạng 3 : Xác định đa thức f(x) thoả mãn một hệ thức đối với f(x) 
 Ví dụ 5: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn 4 thoả mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị 
của x đó là : 3.f(x) – f(1-x) = x2+1
 Giải
 3 2
 Gọi đa thức cần tìm là : f(x) = a3x + a2x + a1x+a0 .
 Theo bài ra ta có : 
 3 2 3 2 2
 3. (a3x + a2x + a1x+a0)- a 3 (1 - x) a 2 (1 - x) a 1 (1 - x) a 0  = x +1
 3 2 2 3 2 2
 3.a3x +3.a2x +3.a1x+3.a0-a3(1-3.x+3.x -x )-a2(1-2.x+x )-a1+a1x-a0= x +1
 3 2 2
 4.a3x +(-3a3+2a2)x +(3a3+2a2+4a1)x+(-a3-a2-a1+2a0)= x
 áp dụng phương pháp hệ số bất định ta có : 
 1 1 5
 Giải hệ trên ta có : a = 0 ; a 2 ; a1 , a 0 
 3 2 4 8
 1 1 5
 x 2 x 
 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = 2 4 8
 Bài tập vận dụng :
 Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4 
 giá trị phân biệt của x : 
 x.P(x – 3) = (x – 1).P(x)
1. 4. Dạng 4 : Xác định đa thức f(x) khi biết đa thức thương khi chia nó cho 
một đa thức khác và một số điều kiện khác .
Ví dụ 6: Tỡm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x – 2) dư 
5. Chia cho (x + 2)(x – 2) thỡ được thương 3x và cũn dư.
 Giải :
 Gọi đa thức dư của phép chia đa thức P(x) cho (x + 2)(x – 2) là r(x) . 
 Ta có : P(x) = (x + 2)(x – 2) . 3x+r(x) . Do bậc của đa thức thương (x + 2)(x 
 – 2) là 2 nên r(x) có dạng ax+b hay P (x) = (x + 2)(x – 2) . 4x + ax + b .(*)
 Ta lại có P(x) chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x – 2) dư 5 nên theo định lí Bơdu 
 ta có : 
 Lại Quang Tuệ-GV Trường9 THCS Cẩm Nhượng SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
 x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751 
Bài tập vận dụng:
1.Tìm thương của phép chia đa thức 3x5-x4-2x3+x2+4x+5 cho đa thức x2-2x+2
2. Tìm thương của phép chia đa thức x55 +x5+1 cho đa thức x10+x5+1
 3 . Xác định đa thức dư
 Chú ý 1: Để tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho một nhị thức ta có thể dùng 
 lược đồ Horner hoặc dùng định lí Bedu để giải.
 Ví dụ 8: Tìm thương và dư của phép chia đa thức 
 2x4-3x2 +4x -5 cho x+2
 Với bài này ta có thể chia trực tiếp để tìm ra kết quả hoặc có thể dùng sơ đồ 
 Horner để tìm.
 Kết quả:Thương là:2x3-4x2+5x-6 và dư là 7
 Ví dụ 8: Tìm dư của phép chia đa thức
 x2004+x9+x2 cho x-1.
 Ta có phần dư của phép chia đa thức trên cho x-1 chính là f(1)=12+19+12004=3. 
 Chú ý 2: Khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta được đa thức thương q(x) 
 và đa thức dư r(x) hay f(x) = q(x) . g(x) +r(x) . 
 Với chú ý bậc của đa thức dư r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức chia g(x). Đây là 
 chú ý rất quan trọng để giải dạng toán này. 
 Ví dụ 9: Tìm đa thức của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3). Biết rằng nếu 
 chia đa thức f(x) cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư 
 bằng 14.
 Giải:
 Cách 1: 
 Lại Quang Tuệ-GV Trường11 THCS Cẩm Nhượng SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
 Giải :
 Do bậc của đa thức chia (x + 1)(x2 +1) là 3
 Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c . gọi q(x) là đa thức thương của phép chia 
 f(x) cho (x + 1)(x2 +1) ta có : 
 f(x)=(x+1)(x2 + 1).q(x)+ax2+bx+c (*)
 = (x+1).q(x) (x2+1)+a(x2+1)+ bx + c – a
 =[(x +1). q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a 
 mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 bx + c – a=2x+3 
 theo phương pháp hệ số bất định ta có : b = 2 (1); 
 c – a = 3 (2)
 Mặt khác f(x) chia cho x+1 được số dư là 4 nên theo định lý Bơ du ta có 
 f(-1) = 4 thay vào (*) ta có : a – b + c = 4 (3)
 b 2 (1) 
 Từ(1),(2),(3)tacóhệphươngtrình c -a 3 (2)
 a- b c 4 (3)
 3 9
 Giải hệ phương trình trên ta tìm được : a ,b 2, c 
 2 2
 3 9
 Vậy đa thức dư cần tìm là : x2 + 2x + 
 2 2
Ví dụ 11: 
 Tìm dư của phép chia x7 + x5 +x3 +1 cho x2 –1 
Cách 1:
Chia trực tiếp đa thức x7 + x5 +x3 +1 cho x2 –1 ta được ta được đa thức dư 
là:3x+1
 Cách 2: 
Sử dụng phương pháp giá trị riêng 
 Gọi thương của phép chia x7 + x5 +x3 +1 cho x2 –1 là q(x), đa thức dư là r(x). 
 Do đa thức chia là x2 –1 nên r(x) có dạng ax + b
 Lại Quang Tuệ-GV Trường13 THCS Cẩm Nhượng SKKN-Phương phỏp giải bài toỏn về đa thức
 Hay Q(x) chia hết cho (x-1),(x-2), (x-3), (x-4) . Mặt khác do bậc của P(x) là 4 
 nên bậc của Q(x) cũng là 4 cho nên : 
 Q(x) = (x-1)(x-2) (x-3) (x-4)
 P(x) = (x-1)(x-2) (x-3) (x-4) +(2x+3)
 Vậy tay vào ta có : P(10) = 3047 ; P(11) =5065 ; P(12) = 7947; 
Bài tập: 
 1. Cho đa thừc(x) bậc 3 biết f(1) = 3; f(2)=5; f(3) = 7; f(4) = 9 . Tính f(11), 
 f(12), f(13)
 2. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3+bx2 + cx + d . Biết P(1) = 6; P(2) = 9; P(3) = 12 
 ; P(4) = 16 . Tính P(14), P(15), P(16) 
 3. Cho đa thức P(x) = x5+ax4+bx3+cx2+dx+e . Biết P(1)=3, P(2) = 9, P(3) = 19, 
 P(4) = 33, P(5) = 51 . Tính P(10), P(11), P(12), P(13) . 
4.2 . Tính giá trị của một biểu thức
 Ví dụ 13 : Cho đa thức f(x) bậc 4 cú hệ số của hạng tử có bậc cao nhất là 1 và 
thoả món: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27
 Tớnh giỏ trị của f(-2) + 7.f(6)
 Giải:
 Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx +c. Tỡm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) = 0
 a, b, c là nghiệm của hệ phương trỡnh
 0 3 a b c
 0 11 9 a 3b c
 0 27 25 a 5b c
 Giải hệ ta được: a= - 1; b = 0; c = -2 nờn đặt g(x) = f(x) – (x2 + 2)
 Bậc f(x) là bậc 4 nờn bậc g(x)là bậc 4 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 
 5). 
 Mặt khác f(x) có hệ số của hạng tử có bâc cao nhất bằng 1 nờn : 
 g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)
 2
 f (x) (x 1)(x 3)(x 5)(x x0 ) x 2
 Lại Quang Tuệ-GV Trường15 THCS Cẩm Nhượng