Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán cực trị hình học

 Nguyễn Hoàng Cường
 Phòng GD&ĐT Ba Vì Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Trường THCS Tản Đà Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
 năm học 2007-2008
 Sơ yếu lý lịch:
 - Họ và tên: Nguyễn Hoàng Cường
 - Sinh ngày: 21-3-1960
 - Năm vào ngành: 1980
 - Chức vụ: Hiệu trưởng trường THCS Tản Đà - Ba Vì
 - Trình độ chuyên môn: Đại học hệ chuyên tu
 - Bộ môn giảng dạy: Toán
 - Trình độ ngoại ngữ: A
 0 Nguyễn Hoàng Cường
 Phần II
 Nội dung của đề tài
A. Các kiến thức cơ bản:
 Trong quá trình giải toán ta thường gặp các bài toán về tìm giá trị lớn nhất 
hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đóNội dung thường được diễn 
đạt dưới dạng sau:
 Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một đại lượng hình học ƒ (Độ dài đoạn 
thẳng, số đo góc, chu vi, diện tích của một hình nào đó). Yêu cầu tìm giá trị ƒ1, 
hoặc ƒ2 cố định để thoả mãn: ƒ1≤ ƒ ≤ ƒ 2 và đồng thời chỉ rõ vị trí hình học của đại 
lượng biến thiên đang xét để tại đó ƒ đạt giá trị nhỏ nhất ƒ 1 hoặc giá trị lớn nhất 
ƒ2.
 Thông thường bài toán chỉ yêu cầu tìm 1 trong 2 giá trị ƒ1 hặc ƒ2.
 Để giải các bài toán cực trị hình học, chúng ta cần cho học sinh nắm được 
một số kiến thức cơ bản sau đây:
 1. Đoạn thẳng nối 2 điểm là đường ngắn nhất. Với A, B, C bất kỳ ta luôn 
có BC ≤ AB + AC.
 2. Các bất đẳng thức trong tam giác: ( ABC)
 - Tổng hai cạnh lớn hơn một cạnh: BC < AB + AC.
 - Đối diện với cạnh nhỏ hơn là góc lớn hơn: a < b Aˆ < Bˆ
 3. Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên. Trong 2 đường xiên: 
Đường nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
 4. Bất đẳng thức trong đường tròn:
 - Đường kính là dây lớn nhất.
 (CO là đường kính và AB là dây bất kỳ: CO ≥ AB)
 - Trong 2 dây bất kỳ: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn (Và ngược lại).
 5. Bất đẳng thức Cosi và hệ quả:
 - Nếu 2 số A ≥ 0 ; B ≥ 0 thì A + B ≥ 2 A.B 
 2 Nguyễn Hoàng Cường
 - Lấy A đối xứng qua a được A1.
 - Nối A, B cắt a tại M. đó là điểm cần dựng
 Thật vậy: A cố định A1 cố định A
 B
 A1B cố định và là đường ngắn nhất. 
 Mà AM + BM = A1M + MB a 1 2
 3 M
  
 Để ý rằng: M1 M 3 (do t/c đối xứng ...)
  
 A1
 M 3 M 2 (đối đỉnh)
  
 M1 M 2 (mức biến đổi ta thấy góc tới bằng góc phản xạ như trong vlí)
 ở đây ta đã sử dụng phương pháp "duỗi" đường AMB thành A1MB...
 Bài 2: Cho ABC, M BC. Tìm các điểm P, Q trên AC và AB sao cho 
chu vi của MPQ là nhỏ nhất?
 Giải
 Ta dùng phương pháp phản chiếu gương (hay phương pháp lật) để giải bài 
toán này.
 - Lấy đối xứng M qua AC được M1
 A
 - Lấy đối xứng M qua AB được M2
 - Nối M1 M2 cắt AB, AC
 Q
 M2 P M1
 Tại Q & P MPQ là Q' P'
 tam giác cần tìm có B
 M C
 chu vi nhỏ nhất.
 Do phép lấy đối xứng nên MP = PM1; MQ = QM2 
 Chu vi MPQ = MP + MQ + QP = M1M2. M cố định M1 M2 cố định 
(đường nối 2 điểm là đường ngắn nhất).
 Ta có thể chứng minh: Lấy P', Q' lần lượt P, Q 
 Thì chu vi MP'Q' = MP' + MQ' + P'Q'
 = M1P' + M2Q' + P'Q' > M1M2
 0
 Lưu ý: Nếu góc BAC > 90 thì M1M2 không cắt AB, AC Bài toán 
không có nghiệm ...
 Bài 3: Vẫn sử dụng phương pháp phản chiếu gương - song ở mức khó hơn.
 Cho ABC nhọn. Hãy dựng các điểm M, P, Q lần lượt trên 3 cạnh của 
 ABC sao cho chu vi của MPQ là nhỏ nhất.
 Giải
 4 Nguyễn Hoàng Cường
 Ta thực hiện phép đối xứng như hình vẽ, điểm M sau 3 lần lấy đối xứng có 
vị trí M3. M3 hoàn toàn xác định do M xác định. Chu vi MNPQ là độ dài đường 
gấp khúc MNP1Q2M3 
 Vậy chu vi MNPQmin M, N, P 1, Q2, M3 thẳng hàng MM 3 cắt BC ở 
đâu đó là điểm N cần tìm và dựa vào bài tập 3 ta có thể xác định được điểm P và 
Q MNPQ là hình bình hành.
 Lưu ý: 
 - Cách tìm điểm M3 ở trên để xác định N không phải là duy nhất. Có thể 
dùng phép lật xuống dưới hay bên trái ...
 - Đối với bài này có thể ra các cạnh AB, BC, CD, DA là 4 gương phẳng 
tạo thành một hình chữ nhật. Tìm đường đi của tia sáng xuất phát từ M sao cho 
sau 3 lần phản xạ lại trở về M...
 Bài 5: Cho góc xOy và điểm M thuộc miền trong của góc xOy. Qua M 
dựng cát tuyến cắt Ox ở A, Oy ở B sao cho: OA + OB nhỏ nhất.
 Giải
 Hướng suy nghĩ: Để giải bài toán này giáo viên nên hướng dẫn học sinh 
bước phân tích: Đưa tổng của 2 đoạn thẳng OA + OB cần tìm về tổng của các 
đoạn thẳng nào đó trong đó có đoạn thẳng cố định theo cách dựng nào đó có thể 
... và sử dụng hình thức cực trị đại số để tìm ra ...
 Từ M kẻ MC // Oy (C Ox)
 b
 MD // Ox (D Oy)
 CAM ~ DMB nên
 O ab
 CA CM p b
 a
 MD DB a q c b E
 p
 p.q = ab (không đổi) a q
 OA + OB = a + p + b + q
 A M B
 = a + b + (p + q) (a + b không đổi) x y
 Vậy min (OA + OB) = a + b + min (p + q) min (p + q) p = q = ab
 Từ đó ta có thể suy ra cách dựng p, q 
 p = q = OE = ab (như hình vẽ)
 Bài 6: Cho đường tròn O và 2 điểm A, B thuộc a không cắt đường tròn O. 
Tìm 1 điểm M trên đường tròn sao cho MA + MB là nhỏ nhất.
 Giải
 * Giả sử M0 là vị trí sao
 cho AMo, BMo tạo với 
 6 Nguyễn Hoàng Cường
 (MA + MB + MC)min 
 MA + MB + MC = CD
 M CD; NCCD
   
 M CD BMC 1200 ; N CD DNB 1200 BMA 1200
   
 Vậy AMB BMC CMA 1200
 Vậy M nằm trên 3 cung chứa góc nhìn AB, AC, BC dưới góc góc 1200
 Lưu ý: 
   
 - Nếu A B C 1200 thì M cùng nhìn 3 đỉnh dưới góc bằng 1200
 
 - Nếu A 1200 M  A
 Các loại toán về diện tích min - max
 Bài 8: Cho ABC và M là điểm trong tam giác qua M dựng các đường 
thẳng song song với các cạnh của tam giác và tạo thành 3 tam giác có diện tích 
 S
S1, S2, S3. Gọi S là diện tích ABC: CMR: S1+ S2+ S3 . Từ đó suy ra vị trí M 
 3
để tổng S1+ S2+ S3 nhỏ nhất.
 Giải
 Với loại toán này sử dụng các kiến thức về diện tích, phân chia hình ... 
giải bằng phương pháp đại số...
 Cách 1: 
 S ADE SBKH
 Xét ADE có: S1+ S2 (1) BKH: S 1+ S3 (2)
 2 2
 SCGF
 CGP: S2+ S3 (3)
 2 A
 K
 Cộng vế với vế (1) (2) (3) ta có: G
 1 M
 2(S1+ S2 + S3) (S + S1+ S2 + S3) S1
 2 D S2 E
 x y
 4 (S1+ S2 + S3) S + (S1+ S2 + S3)
 S3
 3 (S1+ S2 + S3) S
 B C
 S F z H
 S1+ S2 + S3 
 3
 S
 Vậy (S1+ S2 + S3)min S1+ S2 + S3 = 
 3
 Khi và chỉ khi M là trung điểm DE, GF, KH hay M là trọng tâm của ABC.
 8 Nguyễn Hoàng Cường
 Tương tự: SMNF = SFCB = S3S4 Do đó: SEMFN = S1S2 + S3S4
 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4
 Ta có S S ; S S SEMFN (1)
 1 2 2 3 4 2 2
 Mà S1 + S2 + S3 + S4 + 2SEMFN = S (2)
 Từ (1) suy ra: 2SEMFN S1 + S2 + S3 + S4 
 S
 Thay vào (2) ta có: 2SEMFN + 2SEMFN S 4.SEMFN S SEMFN 
 4
 S
 Vậy diện tích EMFNmax = S1 = S2 và S3 = S4 MN // AD // BC
 4
 Bài 10: Cho hình vuông KLMN có cạnh là 1. Người ta nội tiếp trong hình 
vuông này một hình thang ABCD với các đáy là AB và CD sao cho đỉnh A là 
trung điểm của cạnh KN. Các đỉnh B, C, D lần lượt thuộc các cạnh KL, LM, 
 1
MN. Tìm giá trị lớn nhất của SABCD khi BK = ?
 3
 Giải
 Hướng giải bài này:
 K B L
 Sử dụng phương pháp đại số 
dựa vào các dữ liệu bài ra. Nếu để ý 
 1 1 C
ta sẽ thấy KB = cố định S ABK 
 3
 A 1
không đổi nên:
 x
 SABCDmax tổng diện tích
 của 3 tam gác ALC, CMD
 N y
 và AND nhỏ nhất. D M
 Đặt MC = x, DM = y LC = 1-x và ND = 1-y
 AB, CD là đáy hình thang AB // CD và NK // ML (2 cạnh đối hv)
  
 A1 C1
 Suy ra vAKB ~ v CMD ta có:
 1
 AK BK AK CM x 3
 (hoán vị tlthức) 2 x y
 CM DM BK DM 1 y 2
 3
 Ta có: SABCD = 1 - (SBLC + SCMD + SAND) - SAKB
 1 2 1 1 1
 Ta xét: SBLC + SCMD + SAND = S1 = . 1 x xy  1 y 
 2 3 2 2 2
 1 1 1 4 4x 6xy 3 3y 7 4x 6xy 3y
 1 x xy 1 y = 
 3 2 4 12 12
 10 Nguyễn Hoàng Cường
 
Góc AMO = lớn nhất
 PQ lớn nhất. Dựng CH  MP
 PQ = 2OH PQmax OHmax
Mà OH OA vậy OHmax = OA khi AM  OA Cách dựng như trên.
 M
 H
 A
 O
 P
 Q
 12