Sáng kiến kinh nghiệm Toán lũy thừa trong Q

 Mục lục
 Trang
A. Đặt vấn đề 
B. Nội dung và phương pháp
 I .Tình hình chung
 II .Những vấn đề được giải quyết
 III .Phương pháp tiến hành
 1. Cơ sở lí thuyết 
 2. Các dạng bài tập 
 2.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
 2.1.1. Tìm cơ số, thành phần cơ số của luỹ thừa
 2.1.2. Tìm số mũ, thành phần số mũ của luỹ thừa
 2.1.3. Một số trường hợp khác
 2.2. Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa
 2.2.1. Tìm một chữ số tận cùng
 2.2.2. Tìm 2 chữ số tận cùng 
 2.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên
 2.3. Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa
 2.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa
 2.5. Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa
 3. Kết quả thực hiện
 VI. Những vấn đề hạn chế và hướng tiếp tục nghiên cứu
 V. Điều kiện áp dụng
C. Kết luận
 1 I. Tình hình chung
 Thông qua giảng dạy, tôi thấy hầu hết học sinh cứ thấy bài toán liên quan đến 
luỹ thừa là sợ, đặc biệt là luỹ thừa với số mũ lớn , số mũ tổng quát. Như đã nói ở 
trên, học sinh lớp 6, lớp 7 mới được tiếp xúc với toán luỹ thừa, trong sách giáo 
khoa yêu cầu ở mức độ vừa phải, nhẹ nhàng. Chính vì thế mà khi giáo viên chỉ cần 
thay đổi yêu cầu của đề bài là học sinh đã thấy khác lạ, khi nâng cao lên một chút 
là các em gặp khăn chồng chất: Làm bằng cách nào? làm như thế nào? ...chứ chưa 
cần trả lời các câu hỏi: làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn?
 Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần 
toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và 
khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6, lớp7 khi 
học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập.
 II. Những vấn đề được giải quyết.
 1. Kiến thức cơ bản
 2. Kiến thức bổ sung
 3. Các dạng bài tập và phương pháp chung
 3.1. Dạng1: Tìm số chưa biết
 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa
 3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa
 3.1.3. Một số trường hợp khác
 3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa
 3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng
 3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng
 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên
 3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa
 3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa
 3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừa
 III. Phương pháp tiến hành.
 1. CƠ Sở Lý THUYếT
 a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
 3 Với z > 0 thì: x x . z < y . z
 z x . z > y . z
 * Với x Q, n N: 
 (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1
 * Với a, b Q; 
 a > b > 0 => an > bn
 a > b a2n +1 > b2n + 1
 a > 1 , m > n > 0 => am > an
 0 n > 0 => am > an
 2. Các dạng bài tập 
 1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
 2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
 *Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ
 Bài 1: Tìm x biết rằng:
 a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8
 c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = 9 
 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ 
dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.
 a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8
 x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3
  x = -3 => 2x – 1 = - 2 
 Vậy x = - 3 2x = -2 + 1
 2x = - 1
 1
 => x = 
 2
 1
 Vậy x = 
 2
 c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
 => 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3
 2x = 6 2x = 0
 5 Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 
 Bài này ngược với bài trên , hai lũy thừa đã có số mũ -đã biết- giống nhau 
nhưng cơ số – chưa biết – lại khác nhau . Lúc này ta cần sử dụng tính chất : 
bình phương của hai lũy thờa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau .
 Ta cố : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – 5 = 1 – 3x hoặc x – 5 = 3x 
– 1
 => 4x = 6 2x = -4
 => x = 6 = 3 x = -2 
 4 2
 Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*)
 Với bài toán này , cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau , lại phải 
tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu ‘ ’’ , thật là khó ! Lúc này chỉ cần gợi ý 
nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề : hãy so sánh (3x - 
5)100 và (2y +1)200 với 0 .
 Ta thấy : (3x - 5)100 0  x Q
 (2y +1)200 0  x Q
 => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0 , không thể nhỏ hơn 0
 Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0
 3x – 5 = 2y + 1 =0
 1
 => x = 5 và y = 
 3 2
 Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4
 Theo bài 3 , học sinh sẽ nhận ra ngay : (x + 2)2 0  x Z (1)
 2(y – 3)2 0  x Z (2)
 Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 4 ” , học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên 
có thể gợi ý :
 Từ (1) và (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4 thì chỉ có thể xảy ra 
những trường hợp sau :
 +) Trường hợp 1 : (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 0
 => x = -2 => y = 3
 +) Trường hợp 2 : (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 1 
 7 Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
 Bài 1 : Tìm n N biết :
 a, 2008n = 1 c, 32-n. 16n = 1024
 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a,
 a, 2008n = 1=> 2008n = 20080 => n = 0
 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy thừa có 
cùng cơ số nhưng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên :
 b, 5n + 5n+2 = 650
 5n + 5n.52 = 650
 5n.(1 + 25) = 650
 => 5n = 650 : 26
 5n = 25 = 52
 => n = 2
 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d,
 c, 32-n. 16n = 1024
 (25)-n. (24)n = 1024
 2-5n. 24n = 210
 2-n = 210
 => n = -10
 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
 3n-1 + 5 . 3n-1 = 162
 =>6 . 3n-1 = 162
 3n-1 = 27 = 33
 => n – 1 = 3
 n = 4
 Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
 2m + 2n = 2m+n
 Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm như thế nào để 
tìm được hai số mũ m và n . Giáo viên gợi ý :
 2m + 2n = 2m+n
 9 tự ra các bài toán dạng tương tự.
 1. Tìm các số nguyên n sao cho
 a. 9 . 27n = 35 b. (23 : 4) . 2n = 4
 c. 3-2. 34. 3n = 37 d. 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 
 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho :
 a. 125.5 5n 5.25 b. (n54)2 = n
 c. 243 3n 9.27 d. 2n+3 2n =144
 3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng
 a. 2x+1 . 3y = 12x b. 10x : 5y = 20y
 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng
 a. 411 . 2511 2n. 5n 2012.512
 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65
 b. . 2n
 35 35 35 25 25
 Hướng dẫn:
 3. a. 2x+1 . 3y = 12x
 2x+1 . 3y = 22x.3x
 3 y 22x
 => 
 3x 2 x 1
 3y-x = 2x+1
 => y-x = x-1 = 0
 Hay x = y = 1
 b. 10x : 5y = 20y
 10x = 20y . 5y
 10x = 100y
 10x = 1002y
 => x = 2y
 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65
 4 b. . 2n
 35 35 35 25 25
 4.45 6.65
 . 2n
 3.35 2.25
 46 66
 . 2n
 36 26
 => 46 = 2n => 212 = 2n => n = 12
 11 * Nếu (6-x)2003 = 0 => (6-x) = 0
 x = 6
 * Nếu (x-1) = 0 => x = 1
 Vậy : x 1;6
 Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết :
 a. 2a + 124 = 5b
 b. 10a + 168 = b2
 Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào con 
đường bế tắc không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm như thế nào? 
Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất chia hết của một tổng 
để giải bài toán này :
 a) 2a + 124 = 5b (1)
 * Xét a = 0, khi đó (1) trở thành 
 20 + 124 = 5b
 Hay 5b = 125
 5b = 53
 Do đó a= 0 và b = 3
 * Xét a 1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là 
số lẻ với mọi
 a 1 , a,b N, điều này vô lý.
 Kết luận : Vậy : a = 0 và b = 3.
 b) 10a + 168 = b2 (2)
 Tương tự câu a
 * Xét a = 0, khi đó (2) trở thành
 100 + 168 = b2
 169 = b2
 (±13)2 = b2 => b = 13 (vì b N)
 Do đó a = 0 và b = 13.
 * Xét a 1.
 Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a 1 thì 10a có chữ số tận cùng là 0 
 13 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.
 Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
 9 67
 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 99 , 4 5 ,996, 81975 , 20072007 , 
10231024.
 Hướng dẫn : Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận 
cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 .
 +) 20072008 = (20074)502 = (......1)502 = ......1 nên 20072008 chữ số tận cùng là 
1 .
 +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = ......1. 1357 = ......7
 =>13 5725 có chữ số tận cùng là 7 .
 +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501. ......3 = (......1)501. ......3 = = ......1. 
......3 => 20072007 có chữ số tận cùng là 3 .
 +) 23456 = (24)864 = 16864 = ......6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6 .
 +) 5235 = 5232. 523 = (524)8. ......8 = (......6 )8 . ......8 = ......6 . ......8 = ......8 
 => 5235 có chữ số tận cùng là 8 .
 +) 10231024 = (10234)256 = (......1)256 = ......1 =>10231024 có chữ số tận cùng 
là 1 .
 +) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( ......1)501. 2003 = ......1 . 
2003 
 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3 .
 +) 204208 =( 2042)104 = (......6 )104 =......6 => 204208 có chữ số tận cùng là 6.
 7 67
 +) Ta thấy 56 là một số lẻ nên 45 có chữ số tận cùng là 4 
 +) 1358 2008 = (13584) 502 = (......6 )502 = ......6 => 1358 2008 có chữ số tận 
cùng là 6.
 +) 81975 = 81972. 83 = (84)493. ......2 = ......6 ......2 => 81975 có chữ số tận 
cùng là 2 .
 +) 996 = ( 94)24 =(......1)24 = ......1 => 996 có chữ số tận cùng là 1 .
 9
 +) Ta thấy 99 là một số lẻ nên 99 có chữ số tận cùng là 9 .
 Bài 3 : Cho A = 172008 – 112008 – 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A .
 Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phảI tìm chữ số tận cùng 
của tong số hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại .
 15