SKKN Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán Lớp 7

 Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ 
 BẰNG NHAU VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN LỚP 7 ”
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 
I .Lý do chọn đề tài:
 Bộ môn toán ở cấp học THCS nhằm nâng cao dần kiến thức ,kĩ năng tư duy 
toán học và vận dụng toán học vào thực tế. Vì vậy việc học tập bộ môn này đòi 
hỏi sự rèn luyện, tư duy và cố gắng liên tục của mỗi học sinh. Để giúp các em 
học tập đạt kết quả tốt. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần 
thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền 
thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất đồng thời đổi mới phương pháp dạy học 
theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Xuất phát từ yêu cầu thực tế trong 
quá trình giảng dạy toán 7 có nhiều dạng toán sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng 
nhau để giải một số dạng toán nhanh, chính xác. Vì vậy giáo viên phải có 
phương pháp giải bài tập theo từng dạng và có hướng giải bài tập theo nhiều 
cách khác nhau. Do vậy việc hướng dẫn các em có kĩ năng biến đổi để vận dụng 
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào các bài toán là rất cần thiết, từ đó 
phát triển tư duy, đồng thời tạo hứng thú học tập của học sinh nên tôi đã tiến 
hành học tập tích lũy kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và soạn ra đề tài. 
II. MỤC ĐÍCH ,YÊU CẦU,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
 Thông qua đề tài “ Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng 
nhau vào giải toán” nhằm giúp các em chủ động kiến thức,biết vận dụng kiến 
thức đúng vào giải quyết những dạng bài tập, từ đó các em không còn phải lo 
lắng, lúng túng và mắc phải những sai lầm khi bắt gặp dạng toán này. Bên cạnh 
đó học sinh còn được rèn luyện :
- Kỹ năng phân tích một bài tập toán nói chung và từng dạng toán nói riêng
- Kỹ năng vận dụng kiến thức và biến đổi các bài tập về dạng dãy tỉ số bằng 
nhau để áp dụng được công thức giải toán thuận lợi. Biết đưa các bài tập mang 
nội dung thực tế khó giải quyết về các bài tập đơn giản ,dễ hiểu hơn. Giúp các 
em nắm vững kiến thức vận dụng vào bài kiểm cho một tiết, bài kiểm tra học kì, 
đặc biệt là kì thi học sinh giỏi.
 III. ĐÔI TƯỢNG, PHẠM VI,THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
 -Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là học sinh lớp 7A,7B tại trường THCS nơi 
tôi công tác.
 -Phạm vi: Kiến thức lớp 7, vận dụng cho cả các bài toán lớp 8; 9 THCS 
 -Thời gian nghiên cứu: Tôi vận dụng dạy vào những tiết học chính khóa, kết 
hợp với 12 tiết vào những buổi bồi dưỡng nhu cầu của năm học 2019-2020 Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
 II. CÁC GIẢI PHÁP CỤ THỂ
Giải pháp 1:Củng cố và hệ thống lí thuyết về tỉ lệ thức, tính chất của tỉ lệ thức 
,dãy tỉ số bằng nhau
1.Lí thuyết cần nắm vững
 a c
1.1. Định nghĩa của tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số .
 b d
 Ta còn viết: a : b = c : d.
 Trong đó a và d là các ngoại tỉ; b và c là các trung tỉ 
 a c
 1.2. Tính chất của tỉ lệ thức: 
 b d
 a c
 Tính chất 1: Nếu thì a.d = b.c
 b d
 Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
 a c a b d c d b
 ; ; ; 
 b d c d b a c a
 a c
 Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức suy ra các tỉ lệ thức: 
 b d
 a b d c d b
 , , 
 c d b a c a
 1.3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
 a c a c a c a c
 Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức suy ra , (b ≠ ± d)
 b d b d b d b d
 a c e
 Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau 
 b d f
 a c e a c e
 ta suy ra: = =  (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 b d f b d f
 Lưu ý: Tính chất trên còn mở rộng cho n số (n 2)
 a a a a
Nếu có 1 2 3 ... n thì 
 b1 b2 b3 bn
 a a a a a a a ... a
 1 2 3 ... n 1 2 3 n ..... (gt các tỉ số đều nghĩa)
 b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 ... bn
 Nếu đặt dấu "-" trước số hạng trên của tỉ số nào thì đặt dấu"-"trước số hạng 
dưới của tỉ số đó 
.1.4. Một số tính chất của đẳng thức khác : 
 * A = B => AB=A2=B2
 * A=B=C => ABC = A3 = B3 = C3 
 n n n n
 * A1 A2 A3... An A1.A2.A3....An A 1 A 2 A 3 ... A n 
Giải pháp 2: Hệ thống dạng bài tập và cách giải Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
 x y z x y z 88
 4 x 4.14 56; y 4.3 12; z 4.11 44 
 14 3 11 14 3 11 22
Vậy : x=-56 , y=-12 , z= -44
* Hướng dẫn:
c) Để sử dụng được giả thiết đề bài cho x y 60
 x 9 x y
 Ta biến đổi từ suy ra 
 y 11 9 11
 x y
d)Ta biến đổi từ 7x =4y suy ra 
 4 7
 Cách làm tương tư như phần a,b
Lưu ý: Biến đổi sao cho x và y ở cùng phía trên hoặc ở cùng phía dưới trong 
dãy tỉ số bằng nhau
Bài 2: Tìm các số a,b,c,d biết rằng : a:b:c:d = 2:3:4:5 và a+b+c+d = -42
( BT79/22 sách bài tập toán 7)
 a b c d a b c d 42
 Giải : Từ a:b:c:d = 2:3:4:5 => 3 (tính 
 2 3 4 5 2 3 4 5 14
chất dãy tỷ số bằng nhau )
 => a=-6 , b = -9 , c= -12 , d= -15
Vậy a=-6 ; b=-9 ;c= -12 ; d=-15
 * Học sinh thường sai trong cách trình bày, chẳng hạn: Áp dụng tính chất dãy tỉ 
 x y x y 24
số bằng nhau 3
 3 5 3 5 8
 Sai lầm là học dùng dấu “=>” thay cho dấu “=”
Lưu ý: Giáo viên cần khắc sâu để học sinh tránh gặp sai lầm khi giải toán
* Sau khi hướng dẫn học sinh làm bài tập tôi cho học sinh làm bài tương tự các 
em hoạt động theo nhóm đôi ( hai bạn cùng bàn) theo phiếu số 1(phần phụ lục)
* Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau sau khi đã lập được 
các tỷ số mới bằng các tỷ số đã cho để sử dụng dữ kiện đề bài
 a. Lí thuyết: 
 a a.m
1) (m 0) 
 b b.m
 a c a.m c.n
2) (m,n 0)
 b d b.m d.n
 a b c
3) Khi cho a,b,c tỉ lệ với x,y,z => 
 x y z
 a c e k1a k2c k3e
4) Nâng cao: Nếu k thì k ( k1,k2,k3 z)
 b d f k1b k2d k3 f Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
 5k 8k 9k 4k 2 2
Ta có P= Vậy P =
 5k 8k 9k 6k 3 3
* Học sinh thường mắc sai lầm sau.
Sai lầm 1:Khi dùng tính chất1 hoặc tính chất 2 hs chỉ nhân trên tử hoặc dưới 
mẫu.
 x y x 2y 26
-Chẳng hạn ở ví dụ 1a hs trình bày : 
 3 5 3 5 8
Sai lầm 2: Dạng này học sinh hay nhầm lẫn trong việc đặt dấu “-“ 
hoặc dấu (+) nên giáo viên cần củng cố nhắc cho học sinh hiểu : nếu trên tử 
mang dấu “-“ hay “+” thì dưới mẫu cũng đặt dấu “-“ hay “+” tương ứng theo 
thứ tự đó.
* Bài tập tương tự cho học sinh làm tại lớp theo phiếu số 3 (phần phụ lục)
* Dạng 3: Từ dự kiện đề bài cho biến đổi về dãy tỷ số bằng nhau để áp dụng 
tính chất dãy tỷ số bằng nhau 
a. Lí thuyết: 
 Khi giải bài tập dạng này giáo viên cần khắc sâu các tính chất sau:
1) Tính chất của tỉ lệ thức .
 x y y z
2) Từ hai tỉ lệ thức ; làm thế nào để đưa về dãy tỉ số bằng nhau có 
 a b c d
 x y z
dạng ?
 ? ? ?
Phân tích: Vì cả hai tỉ lệ thức đều có y nên ta biến đổi hai tỉ lệ thức trên sao 
cho chúng có cùng một tỉ số có tử là y có mẫu là BCNN của các mẫu ban đầu 
chứa y
 3) Từ đẳng thức tích ax = by =cz (1) làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau 
 x y z
 bằng cách nào?
 ? ? ?
 x y y z
 Cách 1: Từ ax = by => Từ by =cz => Sau đó làm như trên .
 b a c b
 Cách 2: Chia các vế của đẳng thức tích ax = by =cz cho BCNN(a,b,c) sẽ được 
dãy tỉ số bằng nhau.
 x y z x y z
Cách 3: Vì ax ;by ;cz nên ax = by =cz = 
 1 1 1 1 1 1
 a b c a b c
b. Các bài tập áp dụng :
 x y y z
 Bài 1: Tìm x, y, z cho: và và 2x+3y-z=124
 3 4 5 7 Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
 a b c
Từ (1) và (2) ta có: 
 21 14 10
 a b c 3a 7b 5c
Ta có = 
 21 14 10 3.21 7.14 5.10
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau
 a b c 3a 7b 5c 3a 5c 7b 60
 Ta có = = 4
 21 14 10 3.21 7.14 5.10 63 50 98 15
Suy ra a=84; b= 56; c=40
Cách2: Hướng dẫn: Từ 2a = 3b, 5b = 7c => 10a = 15b = 21c. Chia các vế cho 
 a b c
BCNN(10,15,21)=210 ta được : rồi giải tiếp như trên.
 21 14 10
 x y
* Sai lầm học sinh hay mắc phải là : Từ ax = by suy ra (sai)
 a b
 *Bài tập tự luyện làm tại lớp phiếu số 4( phần phụ lục)
* Dạng 4: Dạng bài tập về dãy tỷ số bằng nhau mà phần điều kiện đề bài 
cho các biến có dạng tích ( xy, xyz, ) hoặc có lũy thừa
 Bài 1: (BT62/31 sách giáo khoa toán 7 tập một).
 x y
 Tìm x,y biết: và xy =10 
 2 5
 x y
Phương pháp giải: Giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p và 
 a b
 x y p
Đặt k , ta có x=k.a, y=k.b. do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p k 2 .Từđó 
 a b ab
tìm được k rồi tính được x và y.
*Học sinh thường mắc sai lầm áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở dạng 
 x y xy
phép nhân (sai)
 a b ab
 x y
 Giải: Cách 1 : Đặt =k => x=2k, y=5k => 2k.5k = 10 => k2=1 => k = 1
 2 5
Với k=1 thì x=2; y=5 .Với k=-1 thì x=-2; y=-5
Cách 2: Áp dụng tính chất A = B => AB=A2=B2 
 2 2
 x y xy x y x 2 y 2 x 3 x 3
Từ => 1 hoặc 
 3 5 3.5 3 5 9 25 y 5 y 5( vì x 
và y cùng dấu do x.y =10 )
 x y x 2 xy 15
Cách 3: Nhân hai vế của với x ta được 3 x 2 9 rồi 
 3 5 3 5 5
giải tiếp như trên.
Bài 2: Tìm x,y biết : Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7
 x 3 y3 z3 x y z x 2 y 2 z 2
 Giải: Từ => => 
 8 64 216 2 4 6 4 16 36
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 14 1
 Suy ra x 2 1,y 2 4,z 2 9 => 
 4 16 36 4 16 36 56 4
 x 1,y 2,z 3 
Vậy x=1 ; y=2 ;z=3 hoặc x=-1 ;y=-2 ;z= -3( vì x,y,z cùng dấu )
 *Học sinh thường mắc sai lầm trong cách trình bày lời giảỉ chẳng hạn: 
 x y (1) x 2 y 2
 Sai lầm ở chỗ dấu “=” tại (1) 
 2 5 4 25
Sửa lại: Thay dấu “=” bởi dấu “=>” tại (1)
* Bài tập tương tự: Phiếu số 5 yêu cầu học sinh thảo luận nhóm làm tại 
lớp(phần phụ lục)
Dạng 5: Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải các bài toán có nội 
dung thực tế và bài toán dành cho học sinh khá, giỏi
Nhận xét: Dạng toán này gồm các bài toán mang tính thực tế , đề bài có lời văn, 
cần thiết phải chuyển nội dung bài toán sang dạng kí hiệu có công thức.Dạng 
toán này giúp học sinh thấy được ý nghĩa của toán học gắn liền với thực tế như 
thế nào.
Bài 1: (Bài 103/33 sách toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7)
 Biết độ dài 3 cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3;5;7 .Tính độ dài các cạnh của 
tam giác biết 
 a) Chu vi tam giác bằng 45 (m)
 b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và nhỏ nhất lớn hơn canh còn lại là 20 (m).
Giải : Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c ( a,b,c>0)
 a b c
Theo đề bài ta có và a+b+c = 45
 3 5 7
 a b c a b c 45
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau = 3
 3 5 7 3 5 7 15
 a=9 ,b=15 ,c=21
Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là 9(m); 15(m); 21(m)
b)Cạnh lớn nhất có độ dài c, cạng ngắn nhất có độ dài là a
 a b c
Theo đề bài ta có và a+c-b=20 
 3 5 7
 a b c a c b 20
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau = 4
 3 5 7 3 7 5 5
 a=12 ,b=20 ,c=28
Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là 12(m); 20(m); 28(m)