SKKN Rèn luyện năng lực tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc hướng dẫn khai thác và phát triển các bài toán trong sách giáo khoa Toán 7

 A-ĐẶT VẤN ĐỀ 
 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 1. Cơ sở lý luận. 
 Ở trường THCS, dạy học Toán là hoạt động Toán học. Đối với học sinh 
có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài 
toán là phương tiện rất có hiệu quả trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức 
đồng thời phát triển tư duy và hình thành kỹ năng ứng dụng toán học vào thực 
tiễn. Tổ chức có hiệu quả việc hướng dẫn học sinh giải các bài tập Toán có ý 
nghĩa quyết định tới chất lượng dạy và học Toán. Để làm được điều đó thì trong 
dạy học Toán, đặc biệt là dạy giải bài tập toán thì người thầy giáo cần quan tâm 
tới việc phát triển năng lực thực hiện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so 
sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa và các năng lực 
nhìn nhận các vấn đề Toán học trong nhiều góc độ khác nhau, đề xuất các hướng 
giải quyết vấn đề trên cơ sở các góc độ nhìn nhận đó. 
 Tôi cho rằng hệ thống kiến thức trong sách giáo khoa là nguồn quan 
trọng cần được khai thác để làm tốt nhiệm vụ phát triển năng lực toán học như 
đã nêu ở trên cho học sinh. 
 2 Cơ sở thực tiễn. 
 Trong những năm gần đây chất lượng giáo dục của trường tôi đang công 
tác tăng lên rõ rệt: Sĩ số học sinh tăng nhanh, tỷ lệ % thi đỗ vào lớp 10 THPT 
công lập đạt 80% – 85%, đội tuyển thi học sinh giỏi cấp quận, cấp thành phố 
đứng tốp 3 toàn quận. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán lớp 7 theo 
chương trình sách giáo khoa mới nhiều năm liên tục, do đó tôi có nhiều thời gian 
để tiếp cận với nội dung, chương trình môn Toán lớp 7. Qua nghiên cứu hệ 
thống kiến thức trong sách giáo khoa Toán lớp 7 và thực tiễn giảng dạy, tôi thấy 
cuốn sách giáo khoa Toán 7 được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến 
thức khoa học. Hệ thống bài tập đa dạng kích thích được tính tìm tòi sáng tạo 
của học sinh nhất là học sinh khá giỏi. Đặc biệt các bài tập thường đơn giản, 
nhưng nghiên cứu kỹ sẽ thấy trong đó chứa đựng rất nhiều điều thú vị và bổ ích. 
Do vậy trong quá trình dạy giải bài tập toán cho học sinh tôi luôn chú trọng tới 
việc hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển các bài toán trong sách giáo khoa 
và coi đây là một biện pháp quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện năng 
lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Qua 2 năm áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
trên vào giảng dạy tôi thấy nhiều định lý, tính chất toán học và các bài tập trong 
sách giáo khoa lớp 7 đã được học sinh tìm tòi giải được bằng nhiều cách khác 
nhau hoặc khai thác phát triển thành những bài toán mới hay hơn, khó hơn, tổng 
quát hơn tạo được hứng thú học tập cho học sinh, "Thầy đố trò, trò đố thầy" 
say mê, sôi nổi . Bằng cách làm đó đã giúp tôi đạt được những kết quả nhất định 
trong việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán, đặc biệt là chất lượng bồi 
dưỡng học sinh giỏi. 
 1 
 B- NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
 Đề tài “Rèn luyện năng lực tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc 
hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển các bài toán trong sách giáo 
khoa Toán 7” nghiên cứu và đưa ra 3 hướng khai thác, phát triển các bài toán 
theo cấp độ tăng dần của tư duy: 
 1. Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau; 
 2. Khai thác & phát triển bài toán đã cho thành những bài toán mới; 
 3. Hướng dẫn học sinh xây dựng bài toán tổng quát từ bài toán cụ 
thể. 
 I. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU 
CÁCH KHÁC NHAU. 
 Ví dụ 1: 
 Bài toán 1: Chứng minh định lý: Nếu tam giác có một đường trung tuyến 
đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân. 
 ( Bài số 42 trang 73 SGK Toán 7 tập 2). 
 Lời giải 
 Cách 1: 
 A 
 Trên tia đối của tia MA lấy điểm N 
 sao cho MN = MA 
 1 2 
 Xét ∆ MAC và ∆ MNB có : 
 MB = MC (gt); 
 1 1 1 ̂ ̂
 B C 1 = 2( đối đỉnh) 
 2 M 
 MA = MN ( cách vẽ) 
 => ∆ MAC =∆ MNB( c.g.c) 
 =>AC = BN (1) 
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
 N Và 2 = mà 1 = 2 (gt) => 1 =
 ̂ 
 => ∆ BAN cân tại B => BA= BN (2) 
 Từ (1) và (2) => AB = AC 
 => ∆ ABC cân tại A 
 3 
 Cách 4: 
 1 2 Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường 
 vuông góc kẻ từ M xuống các cạnh 
 AB, AC. Ta có : 
 F
 E Diện tích ∆ MAB = 1/ 2 MF.AB (1) 
 B M C Diện tích ∆ MAC = 1/ 2 ME.AC (2) 
 Mặt khác các ∆ MAB và ∆ MAC có 
 chung đường cao kẻ từ A và 2 cạnh 
 tương ứng bằng nhau: BM= MC(gt) 
 =>Diện tích ∆MAB = Diện tích ∆MAC 
 (3) 
 Từ (1), (2), (3): 
 => MF. AB = MF. AC (4) 
 Xét 2 tam giác vuông ∆ EAM và ∆ 
 FAM có ̂1 = ̂2 (gt), AM chung. 
 => ∆ EAM = ∆ FAM 
 => MF= ME ( 5) 
 Từ ( 4) và (5) => AB = AC 
 =>∆ ABC cân tại A 
 Cách 5: 
 Gọi E, F lần lượt là chân các đường 
 vuông góc kẻ từ M xuống AB; AC. Có 
 2 khả năng xảy ra: 
 Trường hợp 1: 
 A Các góc B, C cùng nhọn: 
 1 2 Xét các tam giác vuông ∆EAM và 
 ∆FAM có: 
 ̂ = ̂ (gt), AM chung. 
 E F 1 2
 => ∆EAM = ∆FAM => MF= ME . 
B M C
 Mà MB = MC (gt) 
 => ∆ EMB = ∆ FMC ( Cạnh huyền, 
 cạnh góc vuông) 
 => ̂ = ̂ => ∆ ABC cân tại A. 
 5 
 Cách 7: 
 Qua M và A kẻ các đường thẳng lần 
 lượt song song với AB và BC, các 
 đường thẳng này cắt nhau tại N, MN 
 cắt AC tại K. 
 A N
 3 Xét ∆ MAB và ∆ AMN có 
 1 2
 ̂1 = ̂1 ( so le trong), AM chung 
 K và ̂ = ̂ ( so le trong) 
 => ∆ MAB = ∆ AMN ( g.c.g) 
 1
B 2 C => BM = AN 
 M 
 Mà BM = MC (gt) => MC = AN. Kết 
 hợp với các điều kiện ̂2 = ̂; 
 ̂ = ̂3 ( so le trong) 
 => ∆KMC = ∆ KNA ( g.c.g) 
 => AK = KC (1) 
 Mặt khác: ̂1 = ̂2 (gt), 
 ̂1 = ̂1 ( so le trong) 
 => ̂1 = ̂2 
 => ∆ KAM cân tại K => AK=KM(2) 
 Từ (1) và (2) => KM = KC => ∆ KMC 
 cân tại K => ̂ = ̂2 
 Mà ̂ = ̂2 ( đồng vị ) => ̂ = ̂ 
 =>∆ ABC cân tại A 
 Cách 8 : 
 Qua M kẻ đường thẳng // AC và qua B 
 kẻ đường thẳng // AM, các đường 
 thẳng này cắt nhau tại D. Gọi K là giao 
 điểm của AB và MD. 
 Xét ∆ BDM và ∆ MAC có 
 ̂ = ̂ ( đồng vị), MB= MC(gt) 
 và ̂ = ̂ ( đồng vị ) 
 =>∆ BDM = ∆ MAC (g.c.g) 
 => AM = BD, ̂ = ̂2 
 7 
 bài số 39 sách bài tập Toán 7 – Tập 2 
 trang 28 ) 
 => AQ và AP cùng vuông góc với CQ, 
 điều này là vô lý => trường hợp 
 ̂ < 900 không xảy ra 
 => ̂ = 900 => ̂ = 900 
 Xét các tam giác vuông: ∆ AMB 
 và ∆AMC có ̂1 = ̂2 (gt), AM chung 
 =>∆ AMB =∆AMC =>∆ABC cân tại A 
Ví dụ 2: 
Bài toán 2: 
 a c
 Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức : = ( a – b 0, c – d 0) 
 b d
 c + d
Ta có thể suy ra tỉ lệ thức a + b = 
 a − b c − d
(Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 tập 1 NXB Giáo dục 2003) 
 Lời giải 
 a c a + b c + d
Cách 1: Từ => +1 = +1 => = 
 b d b d
 a − b c − d
CM Tương tự ta có: = 
 b d
 a + b a + b c + d
=> : : => = 
 b a − b c − d
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
 a b a + b a − b
 => = = và = 
 c d c + d c − d
 a − b
=> = => = 
 c − d
 9 
 Ví dụ 3: 
 Bài toán 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A = x − 2001 + x −1 
 (Bài 141 trang 23 sách bài tập toán 7 tập 1) 
 Lời giải 
 Cách 1: ( Lời giải trong sách bài tập Toán 7 tập 1) 
 Theo bài 140 a ( Bài 140a : Cho x, y Q chứng tỏ rằng x − 2001 + 
 = 2001 − x + ( 2001 – x) + ( x -1) = 2000 
 Dấu = xảy ra khi 2001 – x và x -1 cùng dấu, tức là 1 x 2001 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2000; khi 1 x 2001 
 Cách 2: 
 Ta xét các trường hợp sau: 
 Nếu x A = + = -x + 2001 – x + 1 = -2x + 2002 
 Vì x -2x -2x+ 2002> 2000 hay A > 2000/ 
 - nếu 1 2001 => A = + = -x – 2001+ x -1 = 2000 
=>A = 2000 
 - Nếu x> 2001 => 2x > 4002 => 2x – 2002> 4002 – 2002= 2000 => 
A>2000 
 Tử các trường hợp xét trên suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 2000 đạt được 
khi 1 2001 
 Cách 3: Trên trục số, Điểm N biểu diễn số 1, điểm P biểu diễn số 2001 và 
điểm M biểu diễn theo số x 
 Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số ta có chính là số đo 
đoạn thẳng MP , là số đo đoạn thằng MN. 
Do đó A = + = NM+ MP 1 x 2001
 N M P
=> Tổng NP+ MP nhỏ nhất khi điểm M x 1 2001
thuộc đoạn NP tức là 1 2001 M N P
Khi đó giá trị nhỏ nhất của A là 1 2001 x
 N P M
2001 – 1= 2000 đạt được khi 
1 2001 
 Cách 4: Ta có A A, dấu = xảy ra khi A 0. Do đó: 
 = 2001 − x 2001 – x 
 11 
 Bài toán 4.1: 
 Cho tam giác ABC, I là 1 A
điểm nằm trong tam giác. Hãy so 
sánh góc BAC và góc BIC. 
 I
 B C
 K 
 Từ lời giải bài toán 4 sẽ giúp ta tìm được lời giải của bài toán 4.1 bằng 
cách kẻ tia AI căt BC tại K. 
 Ngoài ra ta có thể giải bài toán 4.1 theo cách khác mà không cần kẻ thêm 
đường phụ như sau: 
 Xét BIC có ̂ + ̂ + ̂ = 1800 (1) 
 ABC có ̂ + ̂ + ̂ = 1800 (2) 
 Mà ̂ < ̂; ̂ < ̂. 
 Do đó phải có: ̂ < ̂. 
 Tiếp tục cho học sinh khai thác các kết quả (1) và (2) để đi tìm mối liên hệ 
giữa ̂ và ̂ ta thu được kết quả sau: 
 Từ (1) và (2) => ̂ + ̂ + ̂ = ̂ + ̂ + ̂ 
 => ̂ = ̂ + ̂ + ̂ 
 Từ kết quả này các em đã xây dựng được bài toán mới như sau : 
 Bài toán 4.2 
 Cho tam giác ABC, I là một điểm nằm trong tam giác. 
 Chứng minh rằng ̂ = ̂ + ̂ + ̂ . 
 Không dừng lại ở đây, tiếp tục cho học sinh khai thác kêt quả bài toán 4.2 
bằng cách đặc biệt hóa vị trí của điểm I là giao điểm của các đường phân giác 
của ABC, khi đó học sinh đều nhận xét được: 
 1 1 1
 ̂ + ̂ = ( ̂ + ̂) = (1800 − ̂) = 900 − ̂ 
 2 2 2
 1 1
 Do đó ̂ = ̂ + 900 − ̂ = 900 + ̂ 
 2 2
 Đến đây ta có bài toán mới như sau: 
 13